实数是我们在初中数学课程中经常接触到的概念。掌握实数的相关知识点和思维训练对于提高数学成绩具有重要意义。
1.1 实数的定义
实数是包括有理数和无理数的集合。实数具有完备性，即任何有上界的非空实数集合都存在上确界。
1.2 实数的分类
实数可以分为两类：有理数和无理数。
1.2.1 有理数
有理数是可以表示为两个整数的比（分子除以分母）的数，例如：1/2, -3/4, 5 等。
有理数又可以分为整数和分数。整数包括正整数、0和负整数，而分数包括正分数和负分数。
1.2.2 无理数
无理数是不能表示为两个整数的比的数，例如：π, √2 等。无理数无法用有限位或无限循环小数表示。
2. 实数的性质
实数具有以下性质：
2.1 封闭性
实数在加、减、乘、除运算下是封闭的，即两个实数的加、减、乘、除结果仍为实数。注意：除数不能为0。
2.2 有序性
实数具有严格的大小关系，即对于任意两个不相等的实数，总有一个实数大于另一个实数。
2.3 稠密性
在任意两个不相等的实数之间，总有无穷多个实数。
3. 实数运算法则
实数的运算遵循以下法则：
3.1 交换律
加法交换律：a + b = b + a
乘法交换律：a × b = b × a
3.2 结合律
加法结合律：(a + b) + c = a + (b + c)
乘法结合律：(a × b) × c = a × (b × c)
3.3 分配律
a × (b + c) = a × b + a × c